Travaux sur l'autoroute

Modifié par Juliedrappier

Avant le début des travaux de construction d'une autoroute, une équipe d'archéologie préventive procède à des sondages successifs en des points régulièrement espacés sur le terrain. 

Lorsque le \(n\) -ième sondage donne lieu à la découverte de vestiges, il est dit positif.

L'évènement : « Le \(n\) -ième sondage est positif » est noté \(\text V_n\)  ; on note \(p_n\)  la probabilité de l'évènement \(\text V_n\)

L'expérience acquise au cours de ce type d'investigation permet de prévoir que :

  • si un sondage est positif, le suivant a une probabilité égale à \(0,6\)  d'être aussi positif ;
  • si un sondage est négatif, le suivant a une probabilité égale à \(0,9\)  d'être aussi négatif.

On suppose que le premier sondage est positif, c'est-à-dire : \(p_1 = 1\) .

1. Calculer la probabilité des événements suivants.
    a. A : « Les deuxième et troisième sondages sont positifs. »
    b. B : « Les deuxième et troisième sondages sont négatifs. »

2. Calculer la probabilité \(p_3\)  pour que le troisième sondage soit positif.

3.  \(n\) désigne un entier naturel supérieur ou égal à \(2\) . Recopier et compléter l'arbre ci-dessous en fonction des données de l'énoncé.


4. Pour tout entier naturel \(n\) , établir que  \(p_{n+1} = 0,5p_n + 0,1\) .

5. On note \(\left(u_n\right)_{n \in \mathbb{N}}\)  la suite définie, pour tout entier naturel \(n\)  non nul par : \(u_n = p_n - 0,2\) .
    a. Démontrer que \(\left(u_n\right)_{n \in \mathbb{N}}\)  est une suite géométrique et préciser le premier terme et la raison.
    b. Exprimer \(p_n\)  en fonction de  \(n\) .

Exercice du baccalauréat, filière S, Asie, juin 2010

Source : https://lesmanuelslibres.region-academique-idf.fr
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